Question

设等比数列{a n }的前n项和为S n ，则“a 1 ＞0”是“S 3 ＞S 2 ”的______（条件

设等比数列{a n }的前n项和为S n ，则“a 1 ＞0”是“S 3 ＞S 2 ”的______（条件）

Answer 1

当公比q=1时，由a 1 ＞0可得 s 3 =3a 1 ＞2a 1 =s 2 ，即S 3 ＞S 2 成立． 当q≠1时，由于 1- q 3 1-q =q 2 +q+1＞1+q= 1- q 2 1-q ， 再由a 1 ＞0可得 a 1 (1- q 3 ) 1-q ＞ a 1 (1- q 2 ) 1-q ，即 S 3 ＞S 2 成立． 故“a 1 ＞0”是“S 3 ＞S 2 ”的充分条件； 当公比q=1时，由S 3 ＞S 2 成立，可得 a 1 ＞0． 当q≠1时，由 S 3 ＞S 2 成立可得 a 1 (1- q 3 ) 1-q ＞ a 1 (1- q 2 ) 1-q ， 再由 1- q 3 1-q ＞ 1- q 2 1-q ，可得 a 1 ＞0． 故“a 1 ＞0”是“S 3 ＞S 2 ”的必要条件． 综上可得，“a 1 ＞0”是“S 3 ＞S 2 ”的充要条件， 故答案为：充要