Question

（2014?北京）如图，AB是⊙O的直径，C是AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长

（2014?北京）如图，AB是⊙O的直径，C是AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长．





Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵C是

AB

的中点，AB是⊙O的直径，
∴CO⊥AB，
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴OC∥BD，
∵OA=OB，
∴AC=CD；

（2）解：∵E是OB的中点，
∴OE=BE，
在△COE和△FBE中，

∠CEO＝∠FEB OE＝BE ∠COE＝∠FBE

，
∴△COE≌△FBE（ASA），
∴BF=CO，
∵OB=2，
∴BF=2，
∴AF=

AB2+BF2

=2

5

，
∵AB是直径，
∴BH⊥AF，
∴△ABF∽△BHF，
∴

AB

BH

=

AF

BF

，
∴AB?BF=AF?BH，
∴BH=

AB?BF

AF

=

4×2

2 5

=

4 5

5

．