Question

（2013?福州质检）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，DE=2，线段DE在AC边上运动（端点D从点A开始），

（2013?福州质检）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，DE=2，线段DE在AC边上运动（端点D从点A开始），速度为每秒1个单位，当端点E到达点C时运动停止．F为DE中点，MF⊥DE交AB于点M，MN∥AC交BC于点N，连接DM、ME、EN．设运动时间为t秒．（1）求证：四边形MFCN是矩形；（2）设四边形DENM的面积为S，求S关于t的函数解析式；当S取最大值时，求t的值；（3）在运动过程中，若以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似，求t的值．

Answer 1

（1）证明：∵MF⊥AC，
∴∠MFC=90°．              
∵MN∥AC，
∴∠MFC+∠FMN=180°．
∴∠FMN=90°．                           
∵∠C=90°，
∴四边形MFCN是矩形．     

（2）解：当运动时间为t秒时，AD=t，
∵F为DE的中点，DE=2，
∴DF=EF=

1

2

DE=1．
∴AF=t+1，FC=8-（t+1）=7-t．
∵四边形MFCN是矩形，
∴MN=FC=7-t．     
又∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=45°．
∴在Rt△AMF中，MF=AF=t+1，
∴S=S_△MDE+S_△MNE=

1

2

DE?MF+

1

2

MN?MF
=

1

2

×2（t+1）+

1

2

（7-t）（t+1）=-

1

2

t²+4t+

9

2

    
∵S=-

1

2

t²+4t+

9

2

=-

1

2

（t-4）²+

25

2

∴当t=4时，S有最大值．                     

（3）∵MN∥AC，
∴∠NME=∠DEM．            
①当△NME∽△DEM时，
∴

NM

DE

=

EM

ME

．          
∴

7?t

2

=1，解得：t=5．                       
②当△EMN∽△DEM时，∴

NM

EM

=

EM

DE

．           
∴EM²=NM?DE．
在Rt△MEF中，ME²=EF²+MF²=1+（t+1）²，
∴1+（t+1）²=2（7-t）．
解得：t₁=2，t₂=-6（不合题意，舍去）
综上所述，当t为2秒或5秒时，以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似．