Question

已知数列{an}满足a1=2，an+1＝1+an1?an（n∈N+），则a1?a2?a3?a4…a2011=______

已知数列{an}满足a1=2，an+1＝1+an1?an（n∈N+），则a1?a2?a3?a4…a2011=______．

Answer 1

因为an+1＝

1+an

1?an

，可以依次计算出数列的前几项：
a₁=2
a2＝

1+a1

1?a1

=-3，
a3＝

1+a2

1?a2

=-

1

2

，
a4＝

1+a3

1?a3

=

1

3

，
a5＝

1+a4

1?a4

＝2=a₁…
可以发现数列是以4为周期的数列．
a₁?a₂?a₃?a₄=1；2011=4×502+3．
则a₁?a₂?a₃?a₄…a₂₀₁₁=（a₁?a₂?a₃?a₄）⁵⁰²?a₁?a₂?a₃=1×2×(?3)×(?

1

2

)=3．
故答案为：3．