Question

如图1，正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P在直线上AC（不与点O重合），作直线BP，分别作AE⊥BP，CF

如图1，正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P在直线上AC（不与点O重合），作直线BP，分别作AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、点F．（1）求证：△ABE≌△BCF；（2）如图2，连接OE，OF，判断OE、OF的关系并证明你的结论；（3）若点P在如图3所示位置，请判断线段AE，OE，CF三者之间的关系，直接写出结论．

Answer 1

解答：（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、点F，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠BAE=∠FBC，
在△ABE和△BCF中

∠BEA＝∠CFB ∠EAB＝∠FBC AB＝BC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS）；
                  
（2）解：OE=OF，OE⊥OF
理由：连接BO，
∵正方形ABCD，
∴OB=OC，∠ABO=∠ACB=45°，∠BOC=90°，
由（1）得∠ABE=∠BCF，BE=CF，
∴∠ABE-∠ABO=∠BCF-∠ACB，
即∠OBE=∠OCF，
在△OBE和△OCF中

BO＝CO ∠OBE＝∠OCF BE＝CF

，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE=OF，∠BOE=∠COF，
∴∠EOF=∠COE+∠COF=∠BOC=90°，
∴OE⊥OF；
                     
（3）

2

EO=AE+FC，
理由：由题意可得：∠AEB=∠BFC=90°，∠ABC=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，∠CBF+∠BCF=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE和△BCF中

∠AEB＝∠BFC ∠EBA＝∠FCB AB＝BC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，FC=EB，
∴EF=BE+BF=AE+FC，
由（2）得：EO⊥FO，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴

2

EO=BE，
∴

2

EO=AE+FC．