Question

在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E是AB边上一点，EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH=∠BEC，交射线FD于点H，交射

在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E是AB边上一点，EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH=∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N．（1）如图1，当点H与点F重合时，求BE的长；（2）如图2，当点H在线段FD上时，设BE=x，DN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）连结AC，当以点E，F，H为顶点的三角形与△AEC相似时，求线段DN的长．

Answer 1

（1）如图1，∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∵∠AEF=∠BEC，
∴∠BEC=45°，
∵∠B=90°，
∴BE=BC，
∵BC=3，
∴BE=3；

（2）如图2，过点E作EG⊥CN，垂足为点G，
∴BE=CG，
∵AB∥CN，
∴∠AEH=∠N，∠BEC=∠ECN，
∵∠AEH=∠BEC，
∴∠N=∠ECN，
∴EN=EC，
∴CN=2CG=2BE，
∵BE=x，DN=y，CD=AB=4，
∴y=2x-4（2≤x≤3）；

（3）如图3，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠CEB=90°，
∴∠AFE=∠CEB，
∴∠HFE=∠AEC，
当以点E，F，H为顶点的三角形与△AEC相似时，
（ⅰ）若∠FHE=∠EAC时，
∵∠BAD=∠B，∠AEH=∠BEC，
∴∠FHE=∠ECB，
∴∠EAC=∠ECB，
∴tan∠EAC=tan∠ECB，
∴

BC

AB

=

BE

BC

，
∴BE=

9

4

，
∴DN=

1

2

；
（ⅱ）若∠FHE=∠ECA，如图3，EG与AC交于点O．
∵∠AEH=∠BEC，
∴∠AHE=∠BCE，∠ENC=∠ECN．
∵EN=EC，EG⊥CN，
∴∠HEG=∠CEG，
∵AH∥EG，
∴∠FHE=∠HEG，
∴∠FHE=∠CEG，
∴∠CEG=∠ECA，
∴EO=CO，
设EO=CO=3k，则AE=4k，AO=5k，
∴AO+CO=8k=5，
∴k=

5

8

，
∴AE=

5

2

，BE=

3

2

，
∴DN=1，
综上所述，线段DN的长为

1

2

或1．