Question

已知二次函数f（x）满足：f（0）=1，且f（x+1）-f（x）=2x．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在区间

已知二次函数f（x）满足：f（0）=1，且f（x+1）-f（x）=2x．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在区间[-1，m]上的最大值．

Answer 1

（1）设二次函数f（x）=ax² +bx+c，∵f（0）=1，∴c=1．
再由f（x+1）-f（x）=2x，可得 2ax+a+b=2x，故有 a=1，b=-1，故有f（x）=x² -x+1．
（2）二次函数f（x）=x² -x+1的对称轴为x=

1

2

，故f（-1）=f（2）．
当-1＜m≤2时，f_max（x）=f（-1）=3．
当m＞2时，f_max（x）=f（m）=m²-m+1．