Question

线性代数问题，求高手解答，不胜感激！！！

Answer 1

1、不是，合同对角化对角元一般不一定是特征值。要相似对角化或正交对角化才是。例如
矩阵A=
1 2
2 1
取合同变换矩阵
C=
1 -4
0 2
则CTAC=diag (1,-12)
而A的特征值为-1和3.
2、正交变换是一种保形变换，我们知道，正交变换保持向量的长度和距离不变。所以对于欧氏空间的几何体而言，通过正交变换后所的形状和性态和原来的完全一样，便于研究，而一般的相似变换则不具有这样的特性。
这里的d一般不等于λ.
3、考研也许就是要考察你是否掌握了施密特正交化方法。
4、
合同变换的矩阵与正负惯性指数没有直接联系。但不管经过怎样的合同变换，正负惯性指数是不会改变的。

追问

谢谢你，高手！真的不胜感激！我还有两个问题～1、若两矩阵，则构成的二次型正负惯性指数相同～这是个充要条件！就像您说的不管怎样合同变换，正负惯性指数不变～这句话有没有几何上的或者较为直观的理解？或者说为什么合同变换后其正负惯性指数不变？ 2、求相似对角化的变换矩阵我会，正交也会，但是好像合同变换的矩阵条件较弱，合同对角化矩阵怎么求呢？

追答

1、在欧氏几何里，合同变换的概念来源于刚体运动这种物理现象。一个刚性的物体经过运动后，仅改变了物体的位置，并没有改变物体的形状与大小。如平移变换，旋转变换，反射变换。它的最基本的不变量是任意两点间的距离。
但在线性代数里，合同变换的几何上的直观的理解似乎有些区别。n元二次型若看做n维空间的一个几何曲面，经过合同变换，二次型的正负惯性指数不变，可以认为是保持曲面的类型不变。例如

三维空间的单叶双曲面经过合同变换一定还是单叶双曲面（正负惯性指数不变），绝对不会化为椭球面或双叶双曲面。
2、合同对角化矩阵怎么求？则实际上很简单，就是做合同变换。其方法是：拼一个与A同阶的单位矩阵：

A
E
对整个分块矩阵进行一次列初等变换，即对整个分块矩阵右乘一个初等矩阵P；再只对矩阵A进行一次相同的行初等变换，即只对矩阵A左乘PT。
如此继续，当把A化为对角矩阵时，就把E化为了合同变换的矩阵C，即有CTAC=diag.

追问

高手！！！！

还能追问？

追答

可以的，不客气。

追问

大神，不知道手机如何追加财富值，确实还有个问题，有空帮我看看啊！

追答

1、没有什么规则要求，只要求变换是非退化的就行。
2、如你前面所设的话，y3对应x1,x2,或x3都可以，因为所给的变换是非退化的。从几何的角度看，不同的对应相当于交换坐标轴，没有关系的。
3、这种变换确实不可以。事实上，变换的矩阵为
1 1 0
0 1 -1
1 0 1
其行列式等于0，说明变换是退化的。如果从几何的角度来说，退化的的变换有可能改变曲面的类型。至于配方过程中要如何才能保证变换是可逆的。这只要你始终用拉格朗日配方法，就一定能保证所做的变换是可逆的。
拉格朗日配方法是指：若一个n元二次型中含有xi的平方项，则先把含有xi的乘积项集中，对所有含有xi的项配方。这样一来，余下的项就不再含有 xi这个变量，从而余下的就是一个n-1元的二次型。如此继续，变量的个数逐步减少，最终一定可化为只有平方项的形式，即标准型。而通过这样配方所得的变换一定是非退化的。