Question

如图，已知点 A(6 3 ，0)，B(0，6) ，经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运

如图，已知点 A(6 3 ，0)，B(0，6) ，经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点P的坐标；（2）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．

Answer 1

（1）作PF⊥y轴于F． ∵点 A(6 3 ，0)，B(0，6) ， ∴∠BAO=30°． 在直角三角形PFB′中，PB′=t，∠B′PF=30°， 则B′F= t 2 ，PF= 3 2 t ． 又BB′=t， ∴OF=OB-BB′-B′F=6-t- t 2 =6- 3 2 t， 则P点的坐标为（ 3 2 t ，6- 3 2 t）． （2）此题应分为两种情况： ①当⊙P和OC第一次相切时， 设直线B′P与OC的交点是M． 根据题意，知∠BOC=∠BAO=30°． 则B′M= 1 2 OB′=3- t 2 ， 则PM=3- 3 2 t ． 根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得 3- 3 2 t =1，t= 4 3 ． 此时⊙P与直线CD显然相离； ②当⊙P和OC第二次相切时， 则有 3 2 t-3=1，t= 8 3 ． 此时⊙P与直线CD显然相交； 答：当t= 4 3 或 8 3 时⊙P和OC相切，t= 4 3 时⊙P和直线CD相离，当t= 8 3 时⊙P和直线CD相交．