Question

在数列{an}中，a1=1，并且对于任意n∈N*，都有．an+1=an2an+1（1）证明数列{1an}为等差数列，并求{an}的

在数列{an}中，a1=1，并且对于任意n∈N*，都有．an+1=an2an+1（1）证明数列{1an}为等差数列，并求{an}的通项公式；（2）求数列{anan+1}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）证明：∵在数列{a_n}中，a₁=1，
并且对于任意n∈N^*，都有．a_n+1=

an

2an+1

，
∴

1

a1

＝1，

1

an+1

=

2an+1

an

=

1

an

+2，
∴{

1

an

}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴

1

an

=1+（n-1）?2=2n-1，
∴a_n=

1

2n?1

．
（2）解：∵a_na_n+1=

1

2n?1

?

1

2n+1

=

1

2

（

1

2n?1

?

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

?

1

5

+…+

1

2n?1

?

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．