Question

小明遇到这样一个问题：“如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=

小明遇到这样一个问题：“如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．”分析时，小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于 点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个正方形（无缝隙不重叠），则这个正方形的边长为_______（2）求正方形MNPQ的面积．（3）参考小明思 考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ= ，则AD的长为_______．





Answer 1

(1) a；（2）2；(3)  .

试题分析：(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形的面积为a 2 ； （2）如图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积； （3）参照小明的钥匙思路，对问题作同样的等积变形，即可求解问题. (1) a (2)∵四个等腰直角三角形△RQF，△SMG，△TNH，△WPE的面积和为a 2 ，正方形ABCD的面积为a 2 ， ∴S 正方形MNPQ =S △ ARE +S △ DWH +S △ GCT +S △ SBF =4S △ ARE =4× ×1 2 =2； (3)   如答图1所示，分别延长RD，QF，PE， 交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W． 由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长． 所以△RSF，△QET，△PDW的面积等于△ABC的面积。 由此可得：S △ RPQ =S △ ADS +S △ CFT +S △ BEW =3S △ ADS ， 过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x， 则AN=AD?sin30°= x，SD=2ND=2ADcos30°= x， ∴S △ ADS = SD?AN= ? x? x= x 2 ． ∴S △ RPQ =S △ ADS +S △ CFT +S △ BEW =3S △ ADS ， ∴ =3× x 2 ，得x 2 = ， 解得x= 或x=? （不合题意，舍去） ∴x= ，即AD的长为 。 考点: 四边形综合题.