Question

设定义域为R的奇函数y=f（x）是减函数，若当θ∈[0， π 2 ]时，f（cos 2 θ+2msinθ）+f（-2

设定义域为R的奇函数y=f（x）是减函数，若当θ∈[0， π 2 ]时，f（cos 2 θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

由条件可得：f（cos 2 θ+2msinθ）＞-f（-2m-2） 由于y=f（x）是奇函数，故有f（-2m-2）=-f（2m+2）（2分） 即f（cos 2 θ+2msinθ）＞f（2m+2） 又由于y=f（x）是减函数，等价于cos 2 θ+2msinθ＜2m+2恒成立．（4分） 设t=sinθ∈[0，1]，等价于t 2 -2mt+2m+1＞0在t∈[0，1]恒成立．（6分） 只要g（t）=t 2 -2mt+2m+1在[0，1]的最小值大于0即可．（8分） （1）当m＜0时，最小值为g（0）=2m+1＞0，所以可得：0＞m＞- 1 2 （2）当0≤m≤1时，最小值为g（m）=-m 2 +2m+1＞0，所以可得：0≤m≤1 （3）当m＞1时，最小值为g（1）=2＞0恒成立，得：m＞1，（13分） 综之：m＞- 1 2 为所求的范围．（14分）