Question

已知点A（-1，0），B（1，-1）和抛物线C：y 2 =4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB

已知点A（-1，0），B（1，-1）和抛物线C：y 2 =4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图（1）证明： 为定值；（2）若△POM的面积为 ，求向量 与 的夹角；（3）证明直线PQ恒过一个定点.

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Answer 1

解：（1）设点 ∵P、M、A三点共线， ∴ k AM =k PM ， 即 即 ， ∴y 1 y 2 =4， 即 为定值． （2）解：设∠POM=α，则 ·cosα=5. ∵ ， ·sinα=5． 由此可得tanα=1，又α∈（0，π）， ∴α=45°， 故向量 与 的夹角为45°． （3）证明：设点 ， ∵M、B、Q三点共线， ∴k BQ = k OM ， 即 ， 即 ∴（y 3 +1）（y 1 +y 3 ）= 即y 1 y 3 +y 1 +y 3 +4=0. 由（1）知y 1 y 2 =4，即 ∴ 即4（y 2 +y 3 ）+y 2 y 3 +4=0.（*）  ∵ ∴直线PQ的方程是 （y-y 2 ）（y 2 +y 3 ）= 即y（y 2 +y 3 ）-y 2 y 3 =4x 由（*）式，得-y 2 y 3 =4（y 2 +y 3 ）+4，代入上式，得（y+4）（y 2 +y 3 ）=4（x-1）． 由此可知直线PQ过定点（1，-4）。