Question

如图所示，水平平板小车质量为m=2kg，其上左端放有一质量为M=6kg的铁块，铁块与平板车间的动摩擦因数μ=0

如图所示，水平平板小车质量为m=2kg，其上左端放有一质量为M=6kg的铁块，铁块与平板车间的动摩擦因数μ=0.5，今二者以10m/s的速度向右运动，并与墙发生弹性碰撞，使小车以大小相同的速度反弹回，这样多次进行，求：①欲使M不从小车上落下，小车至少多长？②第一次反弹后到最终状态，小车运动的总路程．（小车与水平面的摩擦不计，g=10m/s 2 ）

Answer 1

①取平板车与铁块为研究系统，由M＞m，系统每次与墙碰后m反向时，M仍以原来速度向右运动，系统总动量向右，故会多次反复与墙碰撞，每次碰后M都要相对m向右运动，直到二者停在墙边，碰撞不损失机械能，系统的动能全在M相对m滑动时转化为内能．设M相对m滑动的距离为s，则有： μMgs= 1 2 （m+M）v 2 解得：s= (m+M) v 2 2μMg = 40 3 m 欲便M不从小车上落下，则L≥s，故小车长为： L≥ 40 3 m ②小车第一次反弹向左以10m/s的速度做减速运动，直到速度为零，其加速度大小为： a= μMg m =15m/ s 2 故小车第一次向左的最大位移为：s 1 = v 0 2 2a 代入数据得： s 1 = 10 3 m 设小车第n-1次碰前速度为v n-1 ，第n次碰前速度为v n ，则第n-1次碰后到第n次碰前过程动量守恒，有：Mv n-1 -mv n-1 =（m+M）v n ， 所以有：v n = M-m M+m v n-1 = 1 2 v n-1 第n-1次碰后小车反弹速度为v n-1 ，向左减速的最大位移为：s n-1 = v n-1 2 2a 随后向右加速距离为：s′= v n 2 2a 显然有：v n ＜v n-1 ，s′＜s n-1 所以在碰前有相等速度，第n次碰后向左运动的最大位移为： s n = v n 2 2a 所以有： s n s n-1 = v n 2 v n-1 2 = 1 4 ， 即成等比数列．小车运动的总路程为： s=2( s 1 + s 2 + s 3 +…+ s n …)= 2 s 1 1- s n s n-1 = 2× 10 3 1- 1 4 = 80 9 m 答：①欲使M不从小车上落下，小车至少 40 3 m． ②第一次反弹后到最终状态，小车运动的总路程 80 9 m．