Question

（2014?株洲）已知抛物线y=x2-（k+2）x+5k+24和直线y=（k+1）x+（k+1）2．（1）求证：无论k取何实数值，

（2014?株洲）已知抛物线y=x2-（k+2）x+5k+24和直线y=（k+1）x+（k+1）2．（1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；（2）抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，求x1?x2?x3的最大值；（3）如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA?GE=CG?AB，求抛物线的解析式．

Answer 1

（1）证明：∵△=（k+2）²-4×1×

5k+2

4

=k²-k+2=（k-

1

2

）²+

7

4

，
∵（k-

1

2

）²≥0，
∴△＞0，
故无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；

（2）解：∵抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x₁、x₂、x₃，
∴x₁?x₂=

5k+2

4

，
令0=（k+1）x+（k+1）²，
解得：x=-（k+1），
即x₃=-（k+1），
∴x₁?x₂?x₃=-（k+1）?

5k+2

4

=-

5

4

（k+

7

10

）²+

9

80

，
∴x₁?x₂?x₃的最大值为：

9

80

；

（3）解：∵CA?GE=CG?AB，
∴

CA

CB

＝

CG

CE

，
∵∠ACG=∠BCE，
∴△CAG∽△CBE，
∴∠CAG=∠CBE，
∵∠AOD=∠BOE，
∴△OAD∽△OBE，
∴

OA

OB

＝

OD

OE

，
∵抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，
∴OA?OB=

5k+2

4

，OD=

5k+2

4

，OE=（k+1）²，
∴OA?OB=OD，
∴

OA

OB

＝

OA?OB

OE

，
∴OB²=OE，
∴OB=k+1，
∴点B（k+1，0），
将点B代入抛物线y=x²-（k+2）x+

5k+2

4

得：（k+1）²-（k+2）（k+1）-

5k+2

4

=0，
解得：k=2，
∴抛物线的解析式为：y=x²-4x+3．