Question

设x+y+z=0，求证：6（x3+y3+z3）2≤（x2+y2+z2）3

设x+y+z=0，求证：6（x3+y3+z3）2≤（x2+y2+z2）3．

Answer 1

证明：∵x+y+z=0，∴z=-（x+y），
∴左式=6[x³+y³-（x+y）³]²=6（3x²y+3xy²）²=54x²y²（x+y）²=27（2x²）（xy+y²）（xy+y²）
右式=[x²+y²+（x+y）²]³=（2x²+xy+y²+xy+y²）³，
∴利用基本不等式，可得（2x²+xy+y²+xy+y²）³=[（2x²）+（xy+y²）+（xy+y²）]³≥27（2x²）（xy+y²）（xy+y²），
∴右式≥左式，
∴6（x³+y³+z³）²≤（x²+y²+z²）³．