Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn+3=3an（n∈N*），{bn}是等差数列，且b2=a1b4=a1+4（1）求数列{an}，

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn+3=3an（n∈N*），{bn}是等差数列，且b2=a1b4=a1+4（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）n=1时，2S₁+3=3a₁?a₁=3，
n≥2时，2S_n+3=3a_n，①
2S_n-1+3=3a_n-1，②
由①-②得2a_n=3a_n-3a_n-1，
∴a_n=3a_n-1，
∴数列{a_n}是首项a₁=3，公比为3的等比数列，
∴a_n=3ⁿ（n∈N^*），
∴b₂=a₁=3，b₄=a₁+4=7，
∴d=2，∴b₁=1，
∴b_n=2n-1．
（2）a_nb_n=（2n-1）?3ⁿ，
则T_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）×3ⁿ，①
∴3T_n=1×3²+3×3³+5×3⁴+…+（2n-1）×3ⁿ⁺¹，②
由①-②得：-2T_n=1×3+2×3²+2×3³+…+2×3ⁿ-（2n-1）×3ⁿ⁺¹
=3+2×

9×(1?3n?1)

1?3

-（2n-1）×3ⁿ⁺¹
=3+3ⁿ⁺¹-9-（2n-1）×3ⁿ⁺¹
=-6-（2n-2）×3ⁿ⁺¹，
∴T_n=3+（n-1）×3ⁿ⁺¹．