Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AB=AC=BC=AA1，D，E分别为BC，BB1的中点．（1）求证：A1B∥平

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AB=AC=BC=AA1，D，E分别为BC，BB1的中点．（1）求证：A1B∥平面AC1D；（2）求证CE⊥平面AC1D；（3）直线C1A1与平面AC1D所成的角的正弦值．

Answer 1

（1）证明：连接A₁C，交AC₁于N，连接DN，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
所以N为A₁C的中点，又D为BC中点．所以DN∥A₁B，
DN?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
所以A₁B∥平面AC₁D．
（2）证明：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴BB₁⊥AD，
∵△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，
∵BC、BB₁是平面BB₁C₁C内的相交直线，∴AD⊥平面BB₁C₁C，
∵CE?平面BB₁C₁C，∴AD⊥CE，
∵正方形BB₁C₁C中，D、E分别为BC、BB₁的中点，
∴Rt△CBE≌Rt△C₁CD，∠CC₁D=∠BCE，可得∠BCE+∠C₁DC=90°，得C₁D⊥CE，
∵AD、C₁D是平面AC₁D内的相交直线，∴CE⊥平面AC₁D；
（3）解：设AB=AC=BC=AA₁=2，则△AC₁D中，AC₁=2

2

，C₁D=

5

，AD=

3

，
∴S△AC1D=

1

2

×

3

×

5

=

15

2

，
设A₁到平面AC₁D的距离为h，即B到平面AC₁D的距离为h，
∵S△C1DB=

1

2

×1×2=1，<