Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA?3cosCcosB＝3c?ab．（Ⅰ）求sinCsinA的值；（Ⅱ）

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA?3cosCcosB＝3c?ab．（Ⅰ）求sinCsinA的值；（Ⅱ）若B为钝角，b=10，求a的取值范围．

Answer 1

（本小题满分14分）
解：（I）由正弦定理，设

a

sinA

＝

b

sinB

＝

c

sinC

＝k，
则

3c?a

b

＝

3ksinC?ksinA

ksinB

＝

3sinC?sinA

sinB

，
所以

cosA?3cosC

cosB

＝

3sinC?sinA

sinB

．…（4分）
即（cosA-3cosC）sinB=（3sinC-sinA）cosB，
化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）．…（6分）
又A+B+C=π，
所以sinC=3sinA
因此

sinC

sinA

＝3．…（8分）
（II）由

sinC

sinA

＝3得c=3a．…（9分）
由题意

a+c＞b a2+c2＜b2

，…（12分）
∴

5

2

＜a＜

10

…（14分）