Question

（1）用综合法证明：a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（a，b，c∈R）；（2）用反证法证明：若a，b，c均为实数，且a=x

（1）用综合法证明：a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（a，b，c∈R）；（2）用反证法证明：若a，b，c均为实数，且a=x2-2y+π2，b=y2-2z+π3，c=z2-2x+π6，求证a，b，c中至少有一个大于0．

Answer 1

解答：证明：（1）∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
相加可得 2（a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ca），
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c时，取等号）；
（2）设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
∴a+b+c≤0，
而a+b+c=（x²-2y+

π

2

）+（y²-2z+

π

3

）+（z²-2x+

π

6

）
=（x²-2x）+（y²-2y）+（z²-2z）+π=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3，
∴a+b+c＞0，
这与a+b+c≤0矛盾，
故假设是错误的，
故a、b、c中至少有一个大于0．