设函数f(x)对任意xy∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)>0,且f(1)=2(1)求f(0)
设函数f(x)对任意xy∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)>0,且f(1)=2(1)求f(0),f(-1)的值(2)求证:f(x)是奇函数(...
设函数f(x)对任意xy∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)>0,且f(1)=2(1)求f(0),f(-1)的值(2)求证:f(x)是奇函数(3)试问在-2≤x≤4时,f(x)是否有最值;如果没有,说出理由.
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解(1)因为f(x+y)=f(x)+f(y),
令x=0,y=0
则f(0)=2f(0),
所以f(0)=0,
令x=1,y=-1,由f(1)=2得
f(0)=f(-1)+f(1)=f(-1)+2=0
解得f(-1)=-2
(2)令y=-x,由(1)中f(0)=0,及f(x+y)=f(x)+f(y),
可得f(0)=f(x)+f(-x)=0,
即f(-x)=-f(x)
故f(x)是奇函数
(3)任取x1<x2,则x2-x1>0.?f(x2-x1)>0.
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=-f(x2-x1)<0,
∴f(x1)<f(x2),
∴y=f(x)在R上为增函数.
∴y=f(x)在[-2,4]上为减函数,f(-2)为函数的最小值,f(4)为函数的最大值.
又f(4)=2f(2)=4f(1)=8,
f(-2)=2f(-1)=-4
∴函数最大值为8,最小值为-4
令x=0,y=0
则f(0)=2f(0),
所以f(0)=0,
令x=1,y=-1,由f(1)=2得
f(0)=f(-1)+f(1)=f(-1)+2=0
解得f(-1)=-2
(2)令y=-x,由(1)中f(0)=0,及f(x+y)=f(x)+f(y),
可得f(0)=f(x)+f(-x)=0,
即f(-x)=-f(x)
故f(x)是奇函数
(3)任取x1<x2,则x2-x1>0.?f(x2-x1)>0.
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=-f(x2-x1)<0,
∴f(x1)<f(x2),
∴y=f(x)在R上为增函数.
∴y=f(x)在[-2,4]上为减函数,f(-2)为函数的最小值,f(4)为函数的最大值.
又f(4)=2f(2)=4f(1)=8,
f(-2)=2f(-1)=-4
∴函数最大值为8,最小值为-4
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