Question

在数列{an}中，a1＝1，a1+2a2+3a3+…+nan＝n+12an+1(n∈N*)．（1）求数列{an}的通项an；（2）若存在n∈N*

在数列{an}中，a1＝1，a1+2a2+3a3+…+nan＝n+12an+1(n∈N*)．（1）求数列{an}的通项an；（2）若存在n∈N*，使得an≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

（1）当n≥2时，由a₁=1 及 a1+2a2+3a3+…+nan＝

n+1

2

an+1(n∈N*)   ①可得
a1+2a2+3a3+…+(n?1)an?1＝

n

2

an(n∈N*) ②．
两式想减可得  na_n =

n+1

2

an+1-

n

2

an，化简可得

an+1

an

=

3n

n+1

，∴a₂=1．
∴

a3

a2

?

a4

a3

?

a5

a4

…

an

an?1

=

an

1

=

6

3

×

9

4

×

12

5

×…×

3(n?1)

n

=

3n?2[2×3×4×…×(n?1)]

3×4×5×…×n

=

2

n

×3n?2．
综上可得，an＝

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