如图,在△ABC中,∠B=90°,以AB为直径的⊙O交AC于D,过点D作⊙O的切线交BC于E,AE交⊙O于点F.(1)证
如图,在△ABC中,∠B=90°,以AB为直径的⊙O交AC于D,过点D作⊙O的切线交BC于E,AE交⊙O于点F.(1)证明:E是BC的中点;(2)证明:AD?AC=AE?...
如图,在△ABC中,∠B=90°,以AB为直径的⊙O交AC于D,过点D作⊙O的切线交BC于E,AE交⊙O于点F.(1)证明:E是BC的中点;(2)证明:AD?AC=AE?AF.
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证明:(Ⅰ)证明:连接BD,
因为AB为⊙O的直径,
所以BD⊥AC,又∠B=90°,
所以CB切⊙O于点B,且ED切于⊙O于点E,
因此EB=ED,∠EBD=∠EDB,∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C,
所以∠CDE=∠C,
得ED=EC,因此EB=EC,即E是BC的中点
(Ⅱ)证明:连接BF,显然BF是Rt△ABE斜边上的高,
可得△ABE∽△AAFB,
于是有
=
,即AB2=AE?AF,
同理可得AB2=AD?AC,所以AD?AC=AE?AF
因为AB为⊙O的直径,
所以BD⊥AC,又∠B=90°,
所以CB切⊙O于点B,且ED切于⊙O于点E,
因此EB=ED,∠EBD=∠EDB,∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C,
所以∠CDE=∠C,
得ED=EC,因此EB=EC,即E是BC的中点
(Ⅱ)证明:连接BF,显然BF是Rt△ABE斜边上的高,
可得△ABE∽△AAFB,
于是有
AB |
AF |
AE |
AB |
同理可得AB2=AD?AC,所以AD?AC=AE?AF
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