Question

设数列{an}满足：a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）（Ⅰ）证明数列{an+1}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式

设数列{an}满足：a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）（Ⅰ）证明数列{an+1}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=log2（an+1），求数列{1bnbn+1}的前n项和Sn．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），
∴a_n+1+1=2（a_n+1），a₁+1=2，
∴数列{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）解：∵b_n=log₂（a_n+1）=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

?

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

?

1

3

+…+

1

n

?

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．