Question

在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．（Ⅰ）如图

在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．（Ⅰ）如图①，求证直线DE是⊙O的切线；（Ⅱ）如图②，作DG⊥AB于H，交⊙O于G，若AB=5，AC=8，求DG的长．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接OD，如图，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∴∠C=∠ADO．
∴OD∥BC．
∵DF⊥BC，
∴∠ODE=90°．
∴直线DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）解：连接DB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵AB=BC，
∴AD=DC．
∵AC=8，
∴AD=4．
在Rt△ADB中，BD=

AB 2?AD2

=

52?42

=3，
∵DG⊥AB于H，
由三角形面积公式，得AB?DH=AD?DB．
∴DH=

4×3

5

=

12

5

，
∵AB⊥DG，
∴DG=2DH=

24

5

．