Question

（2006?贺州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径GH⊥AB，交AC于D，GH，BC的延长线相交于E．（1）求证：

（2006?贺州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径GH⊥AB，交AC于D，GH，BC的延长线相交于E．（1）求证：∠OAD=∠E；（2）若OD=1，DE=3，试求⊙O的半径；（3）当AGB是什么类型的弧时，△CED的外心在△CED的外部、内部、一边上．（只写结论，不用证明）

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Answer 1

解答：（1）证明：连接OB，
∵GH⊥AB，
∴

AG

＝

BG

．
∴∠AOG=∠GOB=

1

2

∠AOB．
∵∠ACB=

1

2

∠AOB，
∴∠AOG=∠ACB．
∴∠AOD=∠DCE．
又∠ADO=∠CDE，
∴∠OAD=∠E．

（2）解：连接OC，则∠OAD=∠OCA，
∵∠OAD=∠E，
∴∠OCD=∠E．
∵∠DOC=∠COE，
∴△OCD∽△OEC．
∴

OC

OE

=

OD

OC

．
∴OC²=OE?OD=（1+3）×1=4．
∴OC=2．
即⊙O的半径为2．

（3）解：当

AGB

是劣弧时，△CED的外心在△CED的外部；
当

AGB

是半圆时，△CED的外心在△CED的边上；
当

AGB

是优弧时，△CED的外心在△CED的内部．