Question

已知线段AB=10，点P在线段AB上，且AP=6，以A为圆心AP为半径作⊙A，点C在⊙A上，以B为圆心BC为半径作⊙B，

已知线段AB=10，点P在线段AB上，且AP=6，以A为圆心AP为半径作⊙A，点C在⊙A上，以B为圆心BC为半径作⊙B，射线BC与⊙A交于点Q（不与点C重合）．（1）当⊙B过点A时（如图1），求CQ的长；（2）当点Q在线段BC上时（如图2），设BC=x，CQ=y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当由A、P、Q、C四点构成的四边形是梯形时，求BC的长．

Answer 1

（1）∵C、Q在⊙A上，
∴AC=AQ，∴∠C=∠AQC，
∵⊙B过A、C，
∴BA=BC，∴∠C=∠CAB，
∴∠AQC=∠CAB，
∵∠C=∠C，
∴△CAQ∽△CBA，（1分）
∴AC²=CQ?CB，（1分）
即6²=10?CQ，
∴CQ=3.6．（2分）

（2）作AH⊥CQ，则QH=CH=

y

2

，（1分）
且AQ²-QH²=AB²-BH²；（1分）
∵BH=x?

y

2

，且AQ=6，∴36?

y2

4

＝100?(x?

y

2

)2
解之得：y＝

x2?64

x

；（8＜x≤16）

（3）当Q在BC上时：如图1
A、P、Q、C四点构成的四边形是梯形，
且AC∥PQ，则

BA

AP

＝

BC

CQ

∵CQ=y＝

x2?64

x

，CB=x，AP=6，
∴

10

6

＝

x

x2?64 x

，
∵x＞0，
∴解得：x＝4

10

；（2分）

当Q在BC延长线上时：如图2
A、P、Q、C四点构成的四边形是梯形，
且AQ∥PC，则

BP

AP

=

BC

CQ

，
作AH⊥CQ，则QH=CH，且AQ²-QH²=AB²-BH²
即36-QH²=100-（x-QH）²，得QH＝

64?x2

2x

，
则CQ＝

64?x2

x

，（1分）
则

4

6

＝

x

64?x2 x

，
∵x＞0，
∴解得：x＝

8

5

10

，（2分）
∴当A、P、Q、C四点构成的四边形是梯形时，BC的长为4

10

或

8

5

10

．