Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a、b、c∈R），且同时满足：①f（-1）=0；②对任意的实数x恒有x≤f（x）≤

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a、b、c∈R），且同时满足：①f（-1）=0；②对任意的实数x恒有x≤f（x）≤（x+12） 2成立．（1）求f（1）；（2）求f（x）的表达式；（3）当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx（m是实数）是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

（1）当 （

x+1

2

） ² =x，即 x=1时，则由②可得 1≤f（1）≤1，∴f（1）=1．
（2）由f（1）=1且f（-1）=0可得：

a+b+c＝1 a?b+c＝0

，∴a+c=b=

1

2

．
∵对于一切实数x，f（x）-x≥0恒成立，∴ax²+（b-1）x+c≥0（a≠0），对于一切实数x恒成立，
∴

a＞0 △＝(b?1)2?4ac≤0

，即 

a＞0 ac≥ 1 16

．
∵a+c=

1

2

，且a+c≥2

ac

=2×

1 16

=

1

2

，∴当且只有当a=c=

1

4

时，不等式成立．
∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

．
（3）∵当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx=

1

4

x²+（

1

2

-m）x+

1

4

 是单调函数，
它的对称轴为x=

m? 1 2

1 2

=2m-1，故有 2m-1≥1，或2m-1≤-1．
解得 m≥1，或 m≤0，故m的取值范围为[1，+∞）∪（-∞，0]．