Question

如图，梯形ABCD中，AD ∥ BC，AC，BD相交于点O，过O作BC的平行线分别交AB，CD于点E，F．（1）求证：OE=OF

如图，梯形ABCD中，AD ∥ BC，AC，BD相交于点O，过O作BC的平行线分别交AB，CD于点E，F．（1）求证：OE=OF；（2）若AD=3，BC=4，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：∵AD ∥ BC， ∴△AOE ∽ △ABC，△DOF ∽ △DBC， ∴ OE BC = AO AC ， OF BC = DF DC ， 又∵由AD ∥ BC得，△ACD ∽ △OCF， ∴ AO AC = DF DC ， ∴ OE BC = OF BC ， ∴OE=OF； （2）∵AD ∥ BC， ∴△AOD ∽ △BOC， ∴ AO OC = AD BC = 3 4 ， ∴ AO AC = 3 3+4 = 3 7 ， ∵BC=4， ∴ OE 4 = AO AC = 3 7 ， 解得OE= 12 7 ， ∴EF=OE+OF= 12 7 + 12 7 = 24 7 ．