Question

如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y= m x 的图象交于A（2，3），B（-3，n）两点．（1）求一次

如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y= m x 的图象交于A（2，3），B（-3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S △ABC ；（3）连接OA，在x轴上找一点P，使△AOP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

（1）将点A（2，3）代入反比例函数关系式可得：3= m 2 ， 解得：m=6， 故可得反比例函数关系式为：y= 6 x ， 将点B（-3，n）代入反比例函数关系式可得：n= 6 -3 =-2， 故点B的坐标为（-3，-2）， 将点A、点B的坐标代入一次函数关系式可得： 2k+b=3 -3k+b=-2 ， 解得： k=1 b=1 ， 故一次函数解析式为：y=x+1． （2） 由一次函数解析式为y=x+1，可得点D的坐标为（-1，0）， 则OD=1，CD=OC-OD=2， 则S △ABC =S △BCD +S △ACD = 1 2 CD×|B 纵 |+ 1 2 CD×|A 纵 |=2+3=5． （3） ①若OA=OP， 此时点P位于P 1 或P 2 ，则可得P 1 （ 13 ，0），P 2 （- 13 ，0）； ②若OA=AP， 此时点P位于P 3 ，则可得P 3 （4，0）； ③若OP=AP，作OA的中垂线，交x轴与P 4 ，则此时点P位于P 4 ， 此时OE= 1 2 OA= 13 2 ， 根据点A的坐标可得：cos∠AOP 4 = A 横 OA = 2 13 13 ， 则 OE O P 4 = 2 13 13 ， 解得：OP 4 = 13 4 ， 则点P4的坐标为（ 13 4 ，0）． 综上可得点P的坐标为P 1 （ 13 ，0）或P 2 （- 13 ，0）或P 3 （4，0）或（ 13 4 ，0）．