Question

如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC边、CD边上的动点，满足∠EAF=45°．（1）求证：BE+DF=EF；（2）若正方

如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC边、CD边上的动点，满足∠EAF=45°．（1）求证：BE+DF=EF；（2）若正方形边长为1，求△CEF内切圆半径的最大值．

Answer 1

（1）证明：延长FD到G，使DG=BE，连接AG， ∵在△GDA和△EBA中， DG=BE ∠GDA=∠ABE=90° AD=AB ， ∴△GDA≌△EBA， ∴AG=AE，∠GAD=∠EAB， 故∠GAF=45°， 在△GAF和△EAF中， ∵ AG=AE ∠GAF=∠EAF AF=AF ， ∴△GAF≌△EAF， ∴GF=EF， 即GD+DF=BE+DF=EF； （2）令BE=a，DF=b，则EF=a+b，r= 1-a+1-b-(a+b) 2 =1-（a+b）， ∵（1-a） 2 +（1-b） 2 =（a+b） 2 ， 整理得1-（a+b）=ab，而ab≤ 1 4 （a+b） 2 ， 1 4 （a+b） 2 +（a+b）-1≥0， 解得：a+b≥-2+2 2 或a+b≤-2-2 2 （舍去）， r=1-（a+b）≤1-（-2+2 2 ）=3-2 2 ， 当且仅当a=b= 2 -1时，等号成立．