Question

如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b

如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF;（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.

Answer 1

见解析

解：（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点，∴DE AB，DF AC。 又∵△BDG与四边形ACDG周长相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG， ∴BG=AC+AG。 ∵BG=AB－AG，∴BG= 。 （2）证明：BG= ，FG=BG－BF= ，∴FG=DF。∴∠FDG=∠FGD。 又∵DE∥AB，∴∠EDG=∠FGD。∴∠FDG=∠EDG。 ∴DG平分∠EDF。 （3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD，∴△DFG是等腰三角形。 ∵△BDG与△DFG相似，∴△BDG是等腰三角形。 ∴∠B=∠BGD。∴BD=DG。 ∴CD= BD=DG。∴B、G、C三点共圆。 ∴∠BGC=90°。∴BG⊥CG。 三角形中位线定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理。 （1）由△BDG与四边形ACDG的周长相等与D、E、F分别为三边的中点，易得BG=AC+AG，又由BG=AB－AG即可得BG= 。 （2）由点D、F分别是BC、AB的中点，利用三角形中位线的性质，易得DF=FG，又由DE∥AB，即可求得∠FDG=∠EDG。 （3）由△BDG与△DFG相似和（2）得DG=BD=CD，可得B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，由圆周角定理，即可得BG⊥C。