Question

给出下面的数表序列： 其中表n(n=1，2，3，…)有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n-1，

给出下面的数表序列： 其中表n(n=1，2，3，…)有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．(Ⅰ)写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)（不要求证明）；(Ⅱ)每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为{b n }，求和： 。

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Answer 1

解：(Ⅰ)表4为 ， 它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列， 将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列， 简证如下（对考生不作要求） 首先，表n(n≥3)的第1行1，3，5，…，2n-1是等差数列，其平均数为 ， 其次，若表n的第k(1≤k≤n-1)行a 1 ，a 2 ，…，a n-k+1 是等差数列，则它的第k+l行a 1 +a 2 ，a 2 +a 3 ，…，a n-k +a n-k+1 也是等差数列．由等差数列的性质知，表n的第k行中的数的平均数与第k+1行中的数的平均数分别是 ， 由此可知，表n(n≥3)各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列． (Ⅱ)表n的第1行是1，3，5，…，2n-1，其平均数是 ， 由(Ⅰ)知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列（从而它的第k行中的数的平均数是n·2 k-1 ）， 于是，表n中最后一行的唯一一个数为b n =n·2 n-1 ， 因此， ， 故 。