Question

如图，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，同时

如图，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，△APQ是直角三角形？（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）把△APQ沿AB（或沿AC）翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形能不能是菱形？若能，求出此时菱形的面积；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）∵点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，
∴AP=10-2t，AQ=t，
如图1，∠AQP=90°时，cos∠A=

AQ

AP

=

AC

AB

，
∴

t

10?2t

=

8

10

，
解得t=

40

13

，
如图2，∠APQ=90°时，cos∠A=

AP

AQ

=

AC

AB

，
∴

10?2t

t

=

8

10

，
解得t=

25

7

，
综上所述，t=

40

13

或

25

7

时，△APQ是直角三角形；

（2）△ABC的面积=

1

2

AC?BC=

1

2

×8×6=24cm²，
假设存在t使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则点P到AQ的距离为：AP?sin∠A=（10-2t）×

6

10

=

3

5

（10-2t），
∴△APQ的面积=

1

2

t?

3

5

（10-2t）=

1

2

×24，
整理得，t²-5t+20=0，
∵△=（-5）²-4×1×20=25-80=-55＜0，
∴此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；

（3）根据菱形的性质，若关于AB翻折时，则∠A=∠APQ，
如图1，过点Q作QD⊥AB于D，则AD=

1

2

AP=

1

2

（10-2t）=5-t，
cos∠A=

AD

AQ

=

AC

AB

，
∴

5?t

t

=

8

10

，
解得t=

25

9

，
∴DQ=AQ?sin∠A=

25

9

×