Question

设f（x）=ex-a（x+1）．（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值．（2）设g（x）=f（x）+ae

设f（x）=ex-a（x+1）．（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值．（2）设g（x）=f（x）+aex，且A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；（3）求证：1n+3n+…+（2n-1）n＜ee?1?(2n)n．

Answer 1

（1）∵f（x）=e^x-a（x+1），∴f′（x）=e^x-a，
∵a＞0，f′（x）=e^x-a=0的解为x=lna，
∴f（x）_min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna，
∵f（x）≥0对一切x∈R恒成立，
∴-alna≥0，∴lna≤0，∴0＜a≤1，即a_max=1．
（2）设x₁，x₂是任意的两实数，且x₁＜x₂，
则

g(x2)?g(x1)

x2?x1

＞m，故g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁，
∴不妨令函数F（x）=g（x）-mx，则F（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
∴F′（x）=g′（x）-m≥0恒成立，
∴对任意的a≤-1，x∈R，m≤g′（x）恒成立，
g′(x)＝ex?a?

a

ex

≥2

ex?(? a ex )

-a=-a+2

?a

=(

?a

+1)2?1≥3，
故m≤3；
（3）由（1）知e^x≥x+1，取x=?

i

2n

，i=1，3，…，2n-1，得1-

i

2n

≤e

i

2n

，即(

2n?i

2n

)n≤e?

i

2

，
累加得：(

1

2n

)n+(

3

2n

)n+…+(

2n?1

2n

)n≤e?

2n?1

2

+e?

2n?3

2

+…+e?

推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2012-07-09 已知函数f(x)=e^ax-x(a≠0)若对一切x∈R f(x)≥1,恒成立，求a的取值范围 15 2016-12-01 已知函数f(x)=e^x-ax-b，若f(x)≥0恒成立，则ab的最大值为 38 2016-12-01 已知函数f(x)=e^x-ax,a>0,若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值范围 42 2018-04-14 已知f（x）=x^2-ax， | f（f（x））| <=2在[1,2]上恒成立，则实数a的最大值 4 2016-01-10 已知函数f(x)=e∧x-ax-b,若f(x)≥0恒成立,则ab的最大值为（），求详解，谢谢。 2 2016-12-01 已知f（x）＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤｜f（ ）｜对一切x∈R恒成立，且f（ ）＞ 6 2012-08-31 已知函数f(x)=e^x/(x^2-ax+a)当a=0时,对于任意的x(1,t】,恒有tf(x)-xf(t)≥f(x)-f（t）求t的最大值 4 2016-09-06 已知f（x）=ex-1-x-ax2，当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围 5 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 新生报道需要注意什么？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2025Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式