如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面A...
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A-PD-C的正切值．（本小题理科学生做，文科学生不做）
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（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD
又AC⊥CD，AC∩PA=A
∴CD⊥平面PAC，又AE?平面PAC，∴CD⊥AE
（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB
又AD⊥AB，AD∩PA=A，∴AB⊥平面PAD，
又PD?平面PAD，∴AB⊥PD
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形
∴AC=AB，∴PA=AC
∵E是PC中点，∴AE⊥PC
由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C，∴AE⊥平面PCD
∴AE⊥PD
又AB⊥PD，AB∩AE=A，
∴PD⊥平面ABE
（3）解：过E点作EM⊥PD于M点，连接AM
由（2）知AE⊥平面PCD，∴AM⊥PD，∴∠AME是二面角A-PD-C的平面角
设AC=a，则
∵PA=a，∴PD=
a，∴AM=
=
a
在Rt△AEM中，AE=
a，EM=
=
又AC⊥CD，AC∩PA=A
∴CD⊥平面PAC，又AE?平面PAC，∴CD⊥AE
（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB
又AD⊥AB，AD∩PA=A，∴AB⊥平面PAD，
又PD?平面PAD，∴AB⊥PD
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形
∴AC=AB，∴PA=AC
∵E是PC中点，∴AE⊥PC
由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C，∴AE⊥平面PCD
∴AE⊥PD
又AB⊥PD，AB∩AE=A，
∴PD⊥平面ABE
（3）解：过E点作EM⊥PD于M点，连接AM
由（2）知AE⊥平面PCD，∴AM⊥PD，∴∠AME是二面角A-PD-C的平面角
设AC=a，则
|
∵PA=a，∴PD=
|
| PA?AD |
| PD |
| 2 | ||
|
在Rt△AEM中，AE=
| ||
| 2 |
| AM2?AE2 |
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