Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A-PD-C的正切值．（本小题理科学生做，文科学生不做）

Answer 1

（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD
又AC⊥CD，AC∩PA=A
∴CD⊥平面PAC，又AE?平面PAC，∴CD⊥AE                                        
（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB
又AD⊥AB，AD∩PA=A，∴AB⊥平面PAD，
又PD?平面PAD，∴AB⊥PD
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形
∴AC=AB，∴PA=AC
∵E是PC中点，∴AE⊥PC
由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C，∴AE⊥平面PCD
∴AE⊥PD
又AB⊥PD，AB∩AE=A，
∴PD⊥平面ABE                           
（3）解：过E点作EM⊥PD于M点，连接AM

由（2）知AE⊥平面PCD，∴AM⊥PD，∴∠AME是二面角A-PD-C的平面角
设AC=a，则

AD＝ 2 3 a

∵PA=a，∴PD=

7 3

a，∴AM=

PA?AD

PD

=

2

7

a
在Rt△AEM中，AE=

2

2

a，EM=

AM2?AE2

=

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