Question

定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：对于任意x，y∈R+，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．若对于x＞1时

定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：对于任意x，y∈R+，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．若对于x＞1时，恒有f（x）＞0．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明；（Ⅲ）设a为正常数，解关于x的不等式f（x2+a）≤f[（a+1）x]．

Answer 1

（I）将x=1、y=1代入f（xy）=f（x）+f（y），得
f（1×1）=f（1）+f（1），化简得f（1）=0；
（II）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
证明：设x₁、x₂为（0，+∞）上的任意两个数，且x₁＜x₂，
则

x2

x1

＞1，由x＞1时f（x）＞0得f(

x2

x1

)＞0．
∴f(x2)＝f(x1?

x2

x1

)＝f(x1)+f(

x2

x1

)＞f(x1)，即f（x₁）＜f（x₂）．
由此可得函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
（III）由（II）可得：原不等式等价于

x2+a＞0 (a+1)x＞0 x2+a≤(a+1)x

，
∵a＞0且（a+1）x＞0，∴不等式等价于x²+a≤（a+1）x，即（x-a）（x-1）≤0．
∴①当a=1时，原不等式解集为{1}；②当0＜a＜1时，原不等式解集为[a，1]；
③当a＞1时，原不等式解集为[1，a]．