Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．（1）求证：AC是△BDE的外接圆

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；（2）若AB=23，AE=6，求EC的长．

Answer 1

解（1）取BD的中点O，连接OE．
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…3分
∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线．
（2）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，OA²=OE²+AE²，即（r+2

3

）²=r²+6²，
解得r=2

3

，∴OA=2OE，∴∠A=30°，∠AOE=60°．
∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴EC=

1

2

BE=

1

2

3

r=3．