Question

定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得 f（x+λ）+λf（x）=0

定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得 f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ一和谐函数”． 有下列关于“λ-和谐函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ-和谐函数”；②f（x）=x不是一个“λ-和谐函数”；③f（x）=x2是一个“λ-和谐函数”；④“12-和谐函数”至少有一个零点．则正确结论的序号为______（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

①、设f（x）=C是一个“λ-同伴函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-同伴函数”，故①错误
②、假设f（x）=x是一个“λ-同伴函数”，则x+λ+λx=0对任意实数x成立，则有λ+1=λ=0，而此式无解，所以f（x）=x不是“λ-伴随函数”，故②正确；
③、假设f（x）=x²是一个“λ-同伴函数”，则（x+λ）²+λx²=0，
即（1+λ）x²+2λx+λ²=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式无解，所以f（x）=x²不是一个“λ-同伴函数”．故③错误
④、令x=0，得f（

1

2

）+

1

2

f（0）=0．所以f（

1

2

）=-

1

2

f（0）．
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（

1

2

）?f（0）=-

1

2

（f（0））²＜0．
又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，

1

2

）上必有实数根．
因此任意的“

1

2

-同伴函数”必有根，即任意“

1

2

-同伴函数”至少有一个零点．故④正确．
故答案为：②④．