Question

设f′（x）是f（x）的导函数，证明：1ud2udx2=1vd2vdx2．其中u=[f′（x）] ?12，v=f（x）[f′（x）] ?12

设f′（x）是f（x）的导函数，证明：1ud2udx2=1vd2vdx2．其中u=[f′（x）] ?12，v=f（x）[f′（x）] ?12．

Answer 1

解答：证明：∵u＝[f′(x)]?

1

2

∴u′＝?

1

2

f′(x)?

3

2

f″(x)
u″＝?

1

2

f′(x)?

3

2

f″′(x)+

1

2

?

3

2

f′(x)?

5

2

f″2(x)
∴

u″

u

＝?

1

2

f′(x)?1f″′(x)+

3

4

f′(x)?2f″2(x)
又∵v＝f(x)f′(x)?

1

2

∴v′＝f′(x)

1

2

+f(x)?(?

1

2

)f′(x)?

3

2

f″(x)
v″＝

1

2

f′(x)?

1

2

f″(x)?

1

2

[f′(x)?

1

2

f″(x)+f(x)(?

3

2

)f′(x)?

5

2

f″2(x)+f(x)f′(x)?

3

2

f″′(x)]
而

v″

v

＝

1

2

f?1(x)f″(x)?

1

2

1

f(x)

f″(x)+

3

4

f′(x)?2f?1(x)f″2(x)?

1

2

f′(x)?1f″′(x)＝

1

u

u″
∴

1

u

d2u

dx2

=

1

v

d2v

dx2

得证．