Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴的交点为点A，与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴的交点为点A，与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC.现有两动点P、Q分别从O、C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒）；（1）求A、B、C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；（3）当 时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程。

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Answer 1

解：（1） ， 令y=0，得x 2 -8x-180=0， （x-18）（x+10）=0， ∴x=18或x=-10， ∴A（18，0）， 在 中，令x=0，得y=-10， 即B（0，-10）， 由于BC∥OA，故点C的纵坐标为-10， 由 得x=8或x=0， 即C（8，-10）， 且易求出顶点坐标为 ， 于是A（18，0），B（0，-10），C（8，-10）， 顶点坐标为 ； （2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC=PA即可， 而PA=18-4t，CQ=t， 故18-4t=t，得 ； （3）设点P运动t秒，则OP=4t，CQ=t， ， 说明P在线段OA上，且不与点O、A重合， 由于QC∥OP，知△QDC∽△PDO， 故 同理QC∥AF， 故 ， 即 ∴AF=4t=OP， ∴PF=PA+AF=PA+OP=18， 又点Q到直线PF的距离d=|OB|=|-10|=10， ∴ 故当 时，S △PQF 总为定值90； （4）由前面知道，P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8-t，-10）， ， 构造直角三角形后易得： PQ 2 = （4t-8 +t） 2 +10 2 = （5t -8） 2 +100， FQ 2 =（18+4t-8+t） 2 +10 2 =（5t+10） 2 +100， ①若FP= FQ，即18 2 =（5t +10） 2 +100， 故25（t+2） 2 =224，（t+2） 2 = ， ∵ ∴ ∴ ②若QP=QF，即（5t-8） 2 +100=（5t+10） 2 +100， 即（5t-8） 2 =（5t+10） 2 ， 无0≤t≤ 的t满足方程， ③若PQ=PF，即（5t-8） 2 +100=18 2 ∴（5t-8） 2 =224， 由于 ，又 ， ∴ ， 故无 的t满足此方程， 综上所述： 时，△PQF为等腰三角形。