Question

（1）求方程15x+52y=6的所有整数解．（2）求方程x+y=x 2 -xy+y 2 的整数解．（3）求方程 1 x +

（1）求方程15x+52y=6的所有整数解．（2）求方程x+y=x 2 -xy+y 2 的整数解．（3）求方程 1 x + 1 y + 1 z = 5 6 的正整数解．

Answer 1

（1）观察易得一个特解x=42，y=-12，原方程所有整数解为 x=42-52t y=-12+15t （t为整数）． （2）原方程化为（x-y） 2 +（x-1） 2 +（y-1） 2 =2，由此得方程的解为（0，0），（2，2），（1，0），（0，1），（2，1），（1，2）． （3）∵ 1 x ＜ 1 x + 1 y + 1 z ≤ 3 x ，即 1 x ＜ 5 6 ≤ 3 x ，由此得x=2或x=3，当x=2时， 1 x ＜ 1 y + 1 z = 5 6 - 1 2 = 1 3 ≤ 2 y ， 即 1 y ＜ 1 3 ≤ 2 y ，由此得y=4，或5或6，同理当x=3时，y=3或4，由此可得1≤x≤y≤z时，（x，y，z）共有（2，4，12），（2，6，6），（3，3，6），（3，4，4）4组，由于x，y，z在方程中地位平等，可得原方程的解共有15组：（2，4，12），（2，12，4），（4，2，12），（4，12，2），（12，2，4），（12，4，2），（2，6，6），（6，2，6），（6，6，2），（3，3，6），（3，6，3），（6，3，3），（3，4，4），（4，4，3），（4，3，4）．