Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿OC向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t秒． （1）求线段BC的长；（2）连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围：（3）在（2）的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE′F′，使点E的对应点E′落在线段AB上，点F的对应点是F′，E′F′交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时， ?

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Answer 1

（1） （2）  (0<t<3) （3）当t="1" 时，

解：（1）∵△AOB为等边三角形，∴∠BAC=∠AOB=60 0 。 ∵BC⊥AB ，∴∠ABC=90 0 。∴∠ACB=30 0 ，∠OBC=30 0 。∴∠ACB=∠OBC。 ∴CO=OB=AB=OA=3。∴AC=6。 ∴BC= AC= 。 （2）如图，过点Q作QN∥OB交x轴于点N， ∴∠QNA=∠BOA=60 0 =∠QAN。 ∴△AQN为等边三角形。 ∵BQ=t，∴NQ=NA=AQ=3－t。 ∴ 。∴ 。 ∵OE∥QN，∴△POE∽△PNQ。 ∴ ，即 。∴ 。 ∵EF∥x轴，∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=30 0 。∴EF=BE。 ∴  (0<t<3)。 （3）如图， ∵ ， ∴∠AEG=60 0 =∠EAG。 ∴GE′=GA ∴△AE′G为等边三角形。 ∵ 。 ∴ 。 ∴∠l=∠2 ，∠3=∠4。 ∵∠l+∠2+∠3+∠4=180 0 ，∴∠2+∠3=90 0 ，即∠QGA=90 0 。∴ 。 ∵EF∥OC，∴ ，即 。∴ 。 ∵ ，∴ 。 又∵∠FCP=∠BCA，∴△FCP∽△BCA。 ∴ 。解得 。 ∵ ，∴ ，解得t=1。 ∴当t="1" 时， 。 （1）由△AOB为等边三角形得∠ACB=∠OBC=30 0 ，由此CO=OB=AB=OA=3，在Rt△ABC中，AC为6 ，从而BC= 。 （2）过点Q作QN∥OB交x轴于点N，先证△AQN为等边三角形，从而  ， ，再由△POE∽△PNQ对应边成比例计算得 再由EF=BE易得出m与t之间的函数关系式。 （3）先证△AE′G为等边三角形，再证∠QGA=90 0 ，通过两边成比例夹角相等得△FCP∽△BCA 再用含t的式子表示BQ、、PF、QG通过解方程求出。