Question

如图，已知抛物线y=ax 2 -4x+c经过点A（0，-6）和B（3，-9）。（1）求出抛物线的解析式； （2）写出抛物

如图，已知抛物线y=ax 2 -4x+c经过点A（0，-6）和B（3，-9）。（1）求出抛物线的解析式； （2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标； （3）点P（m，m） 与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标；（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小。

Answer 1

解：（1）依题意有 即 ， ∴ ∴抛物线的解析式为： ， （2）把 配方得 ， ∴对称轴方程为x=2 顶点坐标（2，-10）； （3）由点P（m，m）在抛物线上有 ， 即 ∴ 或 （舍去）， ∴P（6，6） ∵点P、Q均在抛物线上，且关于对称轴x=2对称 ∴Q（-2，6）； （4）连接AQ，AP，直线AP与对称轴x=2相交于点M， 由于P，Q两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M，能够使得△QAM的周长最小， 设直线PA的解析式为y=kx+b， ∴ ∴ ∴直线PA的解析式为：y=2x-6， 设点M（2，n） 则有n=2×2-6=-2， 此时点M（2，-2）能够使得△AMQ的周长最小。