Question

有人玩掷正四面体骰子走跳棋的游戏，已知正四面体骰子四个面上分别印有A，B，C，D，棋盘上标有第0站、第1

有人玩掷正四面体骰子走跳棋的游戏，已知正四面体骰子四个面上分别印有A，B，C，D，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，若掷出后骰子为A面，棋子向前跳2站，若掷出后骰子为B，C，D中的一面，则棋子向前跳1站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为Pn（n∈N）．（Ⅰ）求P0，P1，P2；（Ⅱ）求证：Pn?Pn?1＝?14(Pn?1?Pn?2)；（Ⅲ）求玩该游戏获胜的概率．

Answer 1

（1）依题意，得P₀=1，P₁=

3

4

，P₂=

13

16

（Ⅱ）设棋子跳到第n站（2≤n≤99）有两种可能：第一种，棋子先到第n-2站，又掷出后得到A面，其概率为

1

4

Pn?2；第二种，棋子先到第 n-1站，又掷出后得到B，C，D 中的一面，其概率为

3

4

Pn?1，由于以上两种可能是互斥的，所以Pn＝ 

3

4

Pn?1+

1

4

Pn?2，即有Pn?Pn?1＝?

1

4

(Pn?1?Pn?2)
（Ⅲ）由（Ⅱ）知数列 {P_n-P_n-1}是首项为P₁-P₀=?

1

4

，公比为 ?

1

4

的等比数列．
于是有P1?P0＝?

1

4

，P99?P98＝(? 

1

4

)99．
把以上各式相加，得．P99＝

4

5

[1?(?

1

4

)100]
因此，获胜的概率为

4

5

[1?(?

1

4

)100]