Question

15题求解答 数学

15题求解答
数学

Answer 1

由题意知
M在BC上，且BM=2MC
设MC=x，AC=y
则，BM=2x，BC=3x
AM=根下(x^2+y^2)
AB=根下(9x^2+y^2)
在三角形ABM中 （余弦定理）
AM^2+AB^2 -2cos 角BAM * AM *BM =BM^2
cos 角BAM =[(x^2 +y^2) +((9x^2+y^2) - (2x)^2] / [2*根下(x^2+y^2) *根下(9x^2+y^2)]
=(3x^2 +y^2) / 根下[(x^2+y^2) (9x^2+y^2)]
求最小值，可以运用均值不等式
把分母往分子上凑
根下[(x^2+y^2) (9x^2+y^2)]
=根下[ 1/3 * (3x^2+3y^2) (9x^2+y^2)]
=根下(1/3)*根下[(3x^2+3y^2) (9x^2+y^2)]
<=根下(1/3)* [(3x^2+3y^2)+ (9x^2+y^2)]/2 当且仅当3x^2+3y^2=9x^2+y^2，即y=根3*x时成立
=根下(1/3)* 4 *(3x^2 +y^2)/2
=2*根下(1/3) *(3x^2 +y^2)
所以cos 角BAM >= 根3 /2
所以cos 角BAM 最小值根3 /2
希望能帮到你

Answer 2

由题意知：
∠C=90°，点M在BC上，且BM=2MC，
设AC=b，MC=a，则：
AM=√(a^2+b^2)、BM=2a、AB=√(9a^2+b^2)，
cos∠BAM=(AB^2+AM^2-BM^2)/2*AB*AM
=(3a^2+b^2)/√[(9a^2+b^2)(a^2+b^2)]
=1/√{1+[2ab/(3a^2+b^2)]^2}
>=1/√{1+[2ab/(2√3ab)]^2}
=√3/2。