1/x(x^5+2)的不定积分
∫x^5/(1+x^2)dx
=(1/2)∫(x^2)^2/(1+x^2)d(x^2) 令u=x^2
=(1/2)∫u^2/(1+u) 令t=u+1
=(1/2)∫(t-1)^2/tdt
=(1/2)( ∫tdt -∫2dt+∫(1/t)dt
=(1/2)(t^2/2-2t+lnt)+C
=(1/4)(x^2+1)-(x^2+1)+(1/2)ln(x^2+1) +C
解释
根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
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∫x^5/(1+x^2)dx
=(1/2)∫(x^2)^2/(1+x^2)d(x^2) 令u=x^2
=(1/2)∫u^2/(1+u) 令t=u+1
=(1/2)∫(t-1)^2/tdt
=(1/2)( ∫tdt -∫2dt+∫(1/t)dt
=(1/2)(t^2/2-2t+lnt)+C
=(1/4)(x^2+1)-(x^2+1)+(1/2)ln(x^2+1) +C
扩展资料
不定积分的公式
1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
