Question

已知 关于x的一元二次方程x 2 -（2k+1）x+4k-3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等

已知 关于x的一元二次方程x 2 -（2k+1）x+4k-3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a= 31 ，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．

Answer 1

（1）关于x的一元二次方程x 2 -（2k+1）x+4k-3=0， △=（2k+1） 2 -4（4k-3）=4k 2 -12k+13=4 (k- 3 2 ) 2 +4＞0恒成立， 故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）根据勾股定理得：b 2 +c 2 =a 2 =31① 因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根， 则b+c=2k+1②，bc=4k-3③， 因为（b+c） 2 -2bc=b 2 +c 2 =31， 即（2k+1） 2 -2（4k-3）=31， 整理得：4k 2 +4k+1-8k+6-31=0，即k 2 -k-6=0， 解得：k 1 =3或k 2 =-2（舍去）， 则b+c=2k+1=7， 又因为a= 31 ， 则△ABC的周长=a+b+c= 31 +7．