Question

如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证

如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE为⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DE= ．

试题分析：（1）根据垂直平分线的判断方法与性质易得AD是BC的垂直平分线，故可得AB=AC； （2）连接OD，由平行线的性质，易得OD⊥DE，且DE过圆周上一点D故DE为⊙O的切线； （3）由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质，可得AB=BC=10，CD= BC=5；又∠C=60°，借助三角函数的定义，可得答案． （1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°； ∵BD=CD， ∴AD是BC的垂直平分线． ∴AB=AC． （2）证明：如图，连接OD， ∵点O、D分别是AB、BC的中点， ∴OD∥AC． ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE． ∴DE为⊙O的切线． （3）解：由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等边三角形， ∵⊙O的半径为5， ∴AB=BC=10，CD= BC=5． ∵∠C=60°， ∴DE=CD?sin60°= ．